Teorema de Pitágoras

Hace años, un hombre llamado Pitágoras descubrió un hecho asombroso sobre triángulos:  UNA DE LAS DEMOSTRACIONES GEOMÉTRICAS MÁS CONOCIDAS, ES LA QUE SE MUESTRA A CONTINUACIÓN. A partir de la igualdad de los triángulos rectángulos es evidente la igualdad a2 + b2 = c2 PROBLEMAS   Una escalera puesta contra una pared, sabiendo que la pared es de 12 metros  y la base entre la pared es de 5 metros; hallar la altura de la pared.    Ejemplo Problema Encontrar c cuando a = 5 y b =12 Teorema de Pitágoras Sustituir a y b por los valores conocidos Simplificar Combinar términos semejantes Calcular la raíz cuadrada en ambos lados Solución

Teorema de Thales de Mileto

Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre si. El primer teorema de Tales recoge uno de los postulados más básicos de la geometría, a saber, que:

Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.

Entonces, veamos el primer Teorema de Tales en un triángulo:

Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triángulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados sonproporcionales a los del triángulo ABC.  Lo que se traduce en la fórmula

•  Problemas de Tales de Mileto 

Aplicación 2:

Se desea calcular la altura de la casa que se muestra en la foto.

Con la ayuda de un software hemos trazado un triángulo rectángulo sobre la foto y colocado a Andrés Felipe paralelo a la altura de la casa.
En ella se observa que Andrés Felipe tiene una estatura de 134 cm. y la medición en el terreno nos proporcionó que a = 54cm y b= 130cm., los cuales forman la base del triángulo mayor.

Aplicando el Teorema de Thales, vemos que d/c = (a+b)/a
Remplazando valores tenemos: d/134cm = (54cm+130cm)/54cm
d/134cm = 184cm /54cm
d = 184cm (134cm)/54cm
d = 456.6 cm
por tanto d = 4,57 mt es la altura de la casa.

El proceso nos ofrece un error de 7 cm aproximadamente, lo cual es aceptable.

semejanza de triángulo

Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos respectivamente congruentes y si sus lados homólogos son proporcionales. (Lados homólogos son los opuestos a ángulos iguales) Es decir:

Ejemplo: Los triángulos siguientes son semejantes:

En efecto:

< A = < A" ; < B = < B" ; < C = < C"

Postulado: en el triángulo ABC:

Si // , entonces:

congruencia de triángulos

La congruencia de triángulos estudia los casos en que dos o más triángulos presentan ángulos y lados de igual medida o congruentes.

Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes tienen la misma longitud y sus ángulos correspondientes tienen la misma medida.

Si el triángulo ABC es congruente al triángulo DEF, la relación puede ser escrita matemáticamente así:

En muchos casos es suficiente establecer la igualdad entre tres partes correspondientes y usar uno de los siguientes criterios para deducir la congruencia de dos triángulos.

Los postulados o criterios básicos de congruencia de triángulos son:

Postulado LAL

LAL significa lado-ángulo-lado.

Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados y el ángulo determinado por ellos respectivamente iguales.

Postulado ALA

ALA significa ángulo-lado-ángulo.

Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos y el lado común a ellos, respectivamente, iguales.

Postulado LLL

LLL significa lado-lado-lado.

Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente iguales.

ángulos interiores y exteriores de un triángulo

Un ángulo interior de un triángulo lo forman dos lados.

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.

A + B + C = 180º

Ángulo exterior de un triangulo 

Los ángulos exteriores de un triángulo lo forman un lado y su prolongación.

 El valor de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.

  Un ángulo interior y exterior de un triángulo son suplementarios, es decir, suman 180º.

α = 180º - A

teoremas de pares de ángulos

Ángulos adyacentes : son los que están formados de manera que un lado es común y los otros dos lados pertenecen a la misma recta.

Ángulos complementarios:

son dos ángulos sumados valen un ángulo recto, es decir 90.

Ángulos suplementarios:

son ángulos que sumados valen 180 grados.

Ángulos opuestos por el vértice:

son dos ángulos tales que los lados de uno de ellos son las prolongaciones de los lados del otro.

teoremas de rectas paralelas y una secante

teoremas de rectas paralelas y una secante 

Los nombres de los ángulos según el lugar que ocupan reciben los nombres:

Interiores o internos:

En azul, son los que se encuentran entre las rectas paralelas.

Ángulos exteriores o externos:

Los ángulos exteriores o externos en color violeta, son los que hallan en la zona exterior de las paralelas.

Ángulos correspondientes:
Son los que se encuentran en el mismo lado de la secante, un ángulo en la parte interior y otro en el exterior de las paralelas.

Los ángulos del mismo color son correspondientes:

Ángulos alternos internos

Son los que se encuentran a distinto lado de la secante y en la zona interior de las rectas paralelas:

 Ángulos alternos externos:

Son los que se encuentran a distinto lado de la secante y en la zona externa de las rectas paralelas: